针对上述问题，可以从以下几个方面入手，改善县市级医院转诊到大医院时科室开具转诊单的情况：

一是加强医院管理，完善转诊制度。医院应建立健全转诊管理制度，明确转诊标准和流程，加强对转诊患者的信息记录和传递工作，确保转诊过程顺畅有序。同时，医院应加强对科室和医生的绩效考核机制改革，避免将转诊率作为单一的考核指标，鼓励科室和医生根据患者实际情况作出合理的转诊决策。

二是提升医生专业水平，加强医患沟通。医生应不断提升自己的专业知识和技能水平，提高对患者病情的判断能力。同时，医生应加强与患者的沟通和交流，充分了解患者的期望和需求，为患者提供合理的诊疗建议。在开具转诊单时，医生应向患者详细解释转诊的必要性和风险，争取患者的理解和支持。

三是加强医院之间的合作关系，建立有效的沟通机制。县市级医院与上级医院之间应建立紧密的合作关系和有效的沟通机制，加强在医疗技术、人才培养、学科建设等方面的合作与交流。同时，双方应共同制定转诊标准和流程，明确各自的责任和义务，确保转诊过程顺畅有序。此外，双方还应加强对转诊患者的后续治疗和服务关注与跟进，提高转诊效果和服务质量。

四是加强患者教育和宣传引导。医院应加强对患者的教育和宣传引导工作，提高患者对转诊制度的认识和了解。通过举办讲座、发放宣传资料等方式，向患者普及转诊的必要性和风险、转诊流程和注意事项等内容。同时，医院还应加强对患者的心理疏导和安慰工作，减轻患者的焦虑和恐惧情绪，提高患者的治疗信心和满意度。

综上所述，县市级医院转诊到大医院时科室不愿意开具转诊单的原因涉及多方面因素。为了改善这一情况，我们需要从医院管理、医生专业水平提升、医院之间合作关系加强以及患者教育和宣传引导等方面入手，共同推动转诊制度的完善和发展。只有这样，我们才能确保患者能够在最合适的医疗机构接受诊疗，实现医疗资源的优化配置和有效利用。